笔记 7
Girard’s System F ¶
之前我们讨论的语言都非常地单态，每个表达式都有独立的一个类型，不支持多态。
这一章讲了通过 System F i.e. polymorphic typed lambda calculus 如何实现多态的。
引入一种全称类型，∀ t . τ
Λ t . e 是一个泛型函数，它的类型是一个 ∀ t . τ
比如
Λ t . λ (x : t) ↦ x
是一个 polymorphic identity function 具有类型
∀ t . t ↦ t
我们自然的可以把它叫作 unit， 而上面那个函数其实就是 ⟨ ⟩ 它完全就是 null tuple 因为它是这个类型的唯一个元素
二元组也能被很好的定义，和 Chapter 17 untyped lambda calculus 一样：
τ₁ × τ₂ ≝ ∀ r . (τ₁ → τ₂ → r) → r
⟨e₁, e₂⟩ ≝ Λ r . λ (x : τ₁ → τ₂ → r) ↦ x e₁ e₂
e.l ≝ e[τ₁] λ (x : τ₁) (y: τ₂) ↦ x
e.l ≝ e[τ₂] λ (x : τ₁) (y: τ₂) ↦ y
容易看出这就是 17 章定义的 pair 加上了泛型类型。
sum type 也是容易定义的，只需要看出来 sum type 可以看作一个函数链，其中只有一个函数是能被调的
还有自然数。容易把自然数看成对于泛型 t 的
t -> (t -> t) -> t
比如
zero :: t -> (t -> t) -> t
zero z s = z
succ :: nat -> nat
succ e z s = s(e z s)
由此可知， 至少具有和 一样的表达力。事实上，它的表达力更强。
System F 可以表达 Godel’s T 的 evaluate function，但是 Godel’s T 没法表达自己的。当然二者都不是完备的，无法表达自己
注意到，多态性仅靠类型就能一定程度上推断出行为。例如对于类型 因为我们没有任何关于 t 的信息，为了总是能成立，它只能是 identity function
（题外话：上面的东西很直观，但我没理解如何证明的，但从我之前在知乎上看的东西看，似乎在范畴论里可以证出来 ∀ t → t 只有 ident function？）
参数化理论意味着，我们能够仅凭程序类型推导出关于程序行为的定理。这类定理有时被称为自由定理，因为它们是类型推导的“免费”结果，无需程序分析或验证即可推导。这些定理支撑了多态语言的卓越体验，即类型良好的程序在执行时往往能按预期运行。也就是说，满足类型检查器是正确性的充分条件。参数化对程序行为的限制非常严格，以至于只有相对较少的同类型程序会表现出非预期的行为，从而排除了编写代码时经常出现的一大类错误
Abstract Types ¶
Existential Types ¶
有了 forall 类型当然就有 exist 类型对吧。
据说 existential type 在 rust 里的对应是 dyn Trait —— 你不知道具体是什么类型 但是保证了这里存在一个类型 T 满足 Trait. 或者说，存在类型对应一个 trait 而它的一个实例对应一个 impl
比如
fn get_animal() -> impl Animal;
你不知道具体返回的是哪个 animal，可能是 Cat 或者 Dog，但是它保证了会返回一个 Animal，它其实是
get_animal : () → ∃ (t . ⟨ Animal ⟩ )
所以
其实 pack 就是构造了一个存在类型
是 e2 的类型其实
Main idea of data abstracton is to introduce a interface
抽象类型一个重大的动力是实现一个抽象的接口，客户端不需要关注具体实现，只要二者都满足相同的接口和一个（后面我们会讲得性质（？））
Existential type 可以用 System F 表示：
∃ t . τ == ∀ u . (∀ t. τ → u ) → u
这意味着如果给定了 (∀ t. τ → u )，也就是存在类型最后的那个 client 我们都当然能构造出 u ，这也是 ∃ 类型用 ∀ 类型 的解释
Bisimilar ¶
// todo
Constructors and Kinds ¶
注意到 nat → nat 和 nat list 可以被思考为
- (→) 构造子作用在 nat 和 nat 上
- list 作用在 nat 上
（就像函数那样）
我们是否要支持 type 上的计算？ ¶
比如考虑 ⟨ t₁ , t₂ ⟩ . l 似乎它等价于 t₁ 那么 ⟨ t₁ , t₂ ⟩ . l 的表达式也应该具有 t₁ 类型？
需要引入 definational equality of constructor 的概念，并且要求我们设计一个算法看它是否等价（甚至对于太强的类型系统可能遇到图灵完备问题？）
另一种方案：禁止这种 constructors 这样等价就只有完全长得一模一样的概念了
这个方案的问题是会让 substitution 的定义变得困难
这里新书选择了第一种方案，旧书选择了第二种
目前已经有了许多检查 type equality 的方式